5. Найдите косинус угла между векторами a = 3k − p и b = k − 3p, если k ⟂ p, |k| = |p| = 1.

Так как \(\vec k\perp\vec p\), их скалярное произведение равно нулю; кроме того, \(|\vec k|=|\vec p|=1\).

Скалярное произведение векторов:

\(\vec a\cdot\vec b=(3\vec k-\vec p)\cdot(\vec k-3\vec p)=3|\vec k|^2-9(\vec k\cdot\vec p)-|\vec p|^2+3(\vec p\cdot\vec k)=3-1=2\).

Их длины: \(|\vec a|=\sqrt{9|\vec k|^2+|\vec p|^2}=\sqrt{10}\), \(|\vec b|=\sqrt{|\vec k|^2+9|\vec p|^2}=\sqrt{10}\).

Следовательно, \(\cos\varphi=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}=\dfrac{2}{\sqrt{10}\sqrt{10}}=\dfrac15\).

Ответ: \(\dfrac15\).