5) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции \(f(x)=\frac{e^x}{x^2+1}\) на отрезке \([0; 2]\).

Найдём производную: \(f'(x)=\frac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}\). Она неотрицательна на всём отрезке, поэтому функция возрастает на \([0;2]\). (В точке \(x=1\) производная равна нулю, но знак производной не меняется.)

Следовательно, минимум достигается при \(x=0\), а максимум — при \(x=2\): \(f(0)=1\), \(f(2)=\frac{e^2}{5}\).

Ответ: наибольшее значение — \(\frac{e^2}{5}\), наименьшее — \(1\).