Известно, что уравнение \( x^2 - 4x + b = 0 \) имеет корни \( x_1 \) и \( x_2 \). Разность квадратов корней равна 8. Найдите значение \( b \).

Решение:

Дано квадратное уравнение \( x^2 - 4x + b = 0 \). По теореме Виета для этого уравнения:

• Сумма корней: \( x_1 + x_2 = -(-4)/1 = 4 \)
• Произведение корней: \( x_1 x_2 = b/1 = b \)

Также дано условие: разность квадратов корней равна 8. Запишем это как:

\[ x_1^2 - x_2^2 = 8 \]

Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов:

\[ (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 8 \]

Мы знаем, что \( x_1 + x_2 = 4 \). Подставим это значение:

\[ (x_1 - x_2) × 4 = 8 \]

\[ x_1 - x_2 = \frac{8}{4} \]

\[ x_1 - x_2 = 2 \]

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений относительно \( x_1 \) и \( x_2 \):

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 4 \\ x_1 - x_2 = 2 \end{cases} \]

Сложим два уравнения системы:

\[ (x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = 4 + 2 \]

\[ 2x_1 = 6 \]

\[ x_1 = 3 \]

Подставим \( x_1 = 3 \) в первое уравнение \( x_1 + x_2 = 4 \):

\[ 3 + x_2 = 4 \]

\[ x_2 = 1 \]

Мы нашли корни уравнения: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = 1 \).

Теперь найдём значение \( b \) с помощью произведения корней:

\[ b = x_1 x_2 = 3 × 1 = 3 \]

Ответ: \( b = 3 \).