Найти площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = -x^2+9 \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), \( x = 1 \).

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \) и осью \( Ox \) на отрезке \( [a, b] \), вычисляется по формуле: \( S = \int_a^b |f(x)| dx \).

В данном случае функция \( y = -x^2+9 \) ограничена линиями \( y=0 \) (ось \( Ox \)), \( x=0 \) и \( x=1 \).

На отрезке \( [0, 1] \) значение функции \( y = -x^2+9 \) положительно, так как \( -x^2 \) будет от \( 0 \) до \( -1 \), а \( 9 \) — константа. Таким образом, \( y \) будет в диапазоне от \( 8 \) до \( 9 \).

Вычислим определённый интеграл:

\[ S = \int_0^1 (-x^2+9) dx \]

Найдём первообразную для \( -x^2+9 \):

\[ \int (-x^2+9) dx = -\frac{x^3}{3} + 9x \]

Теперь вычислим определённый интеграл, подставив пределы интегрирования:

\[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 9x \right]_0^1 \]

\[ S = \left( -\frac{1^3}{3} + 9(1) \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 9(0) \right) \]

\[ S = \left( -\frac{1}{3} + 9 \right) - (0) \]

\[ S = 9 - \frac{1}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} \]

Ответ: \( \frac{26}{3} \).