5. Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через: 1) точки A, D₁, C; 2) середины рёбер AD, A₁D₁ и вершину C; 3) середины рёбер AB, BC и вершину B₁; 4) середины рёбер A₁D₁ и D₁C₁ и вершину B.

Положим A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), а вершины с индексом 1 получим добавлением координаты z = 1. Площадь каждой плоской фигуры найдена по координатам её вершин.

1. Плоскость через A, D₁, C имеет уравнение y = x + z. Сечение — пятиугольник A–C–D₁–E–F, где E и F — середины рёбер DD₁ и DA₁ соответственно. Его площадь равна 3√2/4.
2. Плоскость через середины AD и A₁D₁ и вершину C задаётся уравнением 2x + y = 1. Сечение — прямоугольник с боковыми сторонами 1 и √5/2; его площадь равна √5/2.
3. Плоскость через середины AB и BC и вершину B₁ задаётся уравнением x + y = 1. Сечение — прямоугольник со сторонами 1 и √2; его площадь равна √2.
4. Плоскость через середины A₁D₁ и D₁C₁ и вершину B задаётся уравнением x + 2z = 1. Сечение — прямоугольник со сторонами 1 и √5/2; его площадь равна √5/2.

Ответ: 1) 3√2/4; 2) √5/2; 3) √2; 4) √5/2.