5. Найдите прямоугольный треугольник ABC, гипотенуза которого равна 13, а один катет на 7 меньше другого. Постройте фигуру.

Обозначим меньший катет через x, тогда больший равен x + 7. По теореме Пифагора:

\(x^2 + (x+7)^2 = 13^2\).

Раскрываем скобки и упрощаем: \(2x^2 + 14x - 120 = 0\), то есть \(x^2 + 7x - 60 = 0\).

Разложим на множители: \((x-5)(x+12)=0\). Длина положительна, поэтому x = 5, а второй катет равен 12. Проверка: \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\).

Построенный прямоугольный треугольник со сторонами 5, 12 и 13 (схема, не в масштабе):