5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, если две его стороны равны AC = 12√2 см, CB = 11√2 см, а угол между ними равен 45°.

Сначала найдём третью сторону AB по теореме косинусов:

\(AB^2=(12\sqrt{2})^2+(11\sqrt{2})^2-2\cdot12\sqrt{2}\cdot11\sqrt{2}\cdot\cos45^\circ\).

Следовательно, \(AB^2=288+242-264\sqrt{2}=530-264\sqrt{2}\), откуда \(AB=\sqrt{530-264\sqrt{2}}\) см.

Площадь треугольника равна \(S=\frac12\cdot12\sqrt{2}\cdot11\sqrt{2}\cdot\sin45^\circ=66\sqrt{2}\) см².

Используем формулу \(R=\frac{abc}{4S}\):

\(R=\frac{(12\sqrt{2})(11\sqrt{2})\sqrt{530-264\sqrt{2}}}{4\cdot66\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{530-264\sqrt{2}}=\sqrt{265-132\sqrt{2}}\) см.

Ответ: \(\sqrt{265-132\sqrt{2}}\) см.