5. Найдите точки экстремума функции \(f(x)=2x^3-\frac{1}{2}x^4-8\).

Найдём производную: \(f'(x)=6x^2-2x^3=2x^2(3-x)\). Критические точки: \(x=0\) и \(x=3\).

При переходе через \(x=0\) знак производной не меняется: функция продолжает возрастать, поэтому экстремума там нет. При \(x=3\) производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума.

\(f(3)=2\cdot27-\frac{1}{2}\cdot81-8=\frac{11}{2}\).

Ответ: точка максимума \(\left(3;\frac{11}{2}\right)\); точки минимума нет.