5) Найдите все простые числа p, q₁, q₂, q₃, q₄, q₅ такие, что p² = q₁² + q₂² + q₃² + q₄² + q₅².

Все простые числа, кроме 2, нечётные; квадрат нечётного числа сравним с 1 по модулю 8, а \(2^2=4\).

1. Если среди \(q_1,\ldots,q_5\) нет двоек, сумма пяти квадратов сравнима с 5 по модулю 8. Это не может быть квадратом простого числа: квадрат нечётного простого сравним с 1, а квадрат 2 — с 4.
2. Если двоек ровно две, четыре нечётных квадрата дают по модулю 8 сумму 4, а квадраты двоек дают 0; правая часть сравнима с 4. Тогда \(p=2\), но сумма пяти квадратов больше \(2^2\), что невозможно.
3. Если двоек ровно четыре, оставшееся простое число \(q\) нечётное. Уравнение принимает вид \(p^2=q^2+4\cdot2^2=q^2+16\). Значит, \((p-q)(p+q)=16\). Поскольку \(p,q\) нечётные простые и \(p>q\), единственная подходящая пара положительных чётных множителей — 2 и 8. Отсюда \(p=5\), \(q=3\).
4. Если двоек одна или три, сумма квадратов нечётных простых и квадратов двоек по модулю 4 не совпадает с квадратом простого: при нечётном \(p\) квадрат равен 1 по модулю 4, что требует, чтобы число двоек было кратно 4; при \(p=2\) сумма пяти положительных квадратов больше 4.
5. Если все пять чисел — двойки, сумма равна 20, не являющемуся квадратом простого.

Таким образом, в списке \(q_1,\ldots,q_5\) должны быть четыре двойки и одна тройка; порядок слагаемых произволен.

Ответ: \(p=5\), а числа \(q_1,\ldots,q_5\) — четыре двойки и одна тройка, в любом порядке.