5. Найдите все значения k, при каждом из которых прямая y = kx имеет с графиком функции y = −x² − 6.25 ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

Приравняем уравнения графиков: \(kx=-x^2-6.25\), откуда \(x^2+kx+6.25=0\). Ровно одна общая точка будет, когда дискриминант равен нулю: \(k^2-4\cdot6.25=0\), поэтому \(k^2=25\) и \(k=5\) или \(k=-5\).

При \(k=5\): \(x=-\frac{k}{2}=-2.5\), \(y=5x=-12.5\). При \(k=-5\): \(x=2.5\), \(y=-12.5\).

График параболы и обе касательные прямые:

Ответ: \(k=-5\) и \(k=5\); точки касания соответственно \((2.5;-12.5)\) и \((-2.5;-12.5)\).