5. Найдите все значения m, при каждом из которых неравенство 3x²−4x+m>0 верно при любых значениях x.

Рассмотрим квадратный трёхчлен как функцию от \(x\). Его старший коэффициент положителен: \(3>0\). Чтобы трёхчлен был строго положительным при всех \(x\), его дискриминант должен быть отрицательным.

\(D=(-4)^2-4\cdot3\cdot m=16-12m\). Требуем \(16-12m<0\), откуда \(m>\frac{4}{3}\). При равенстве трёхчлен обращался бы в ноль при одном значении \(x\), поэтому равенство не подходит.

Ответ: \(m>\frac{4}{3}\).