№5. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых неравенство \(2x^2+2(a+2)x+6+a\le 0\) имеет единственное решение.

Квадратичная функция направлена вверх, поскольку коэффициент при \(x^2\) равен \(2>0\). Неравенство с таким коэффициентом имеет ровно одно решение тогда и только тогда, когда парабола касается оси \(x\), то есть дискриминант равен нулю.

Вычислим дискриминант:

\(D=[2(a+2)]^2-4\cdot2\cdot(6+a)=4(a+2)^2-8(a+6)=4(a+4)(a-2).\)

Приравняем его к нулю: \(4(a+4)(a-2)=0\), откуда \(a=-4\) или \(a=2\). В обоих случаях квадратный трёхчлен имеет один двойной корень, поэтому множество решений неравенства состоит из одной точки.

Ответ: \(a\in\{-4;2\}\).