№5. Найдите значение sin sin α если cos cos α = 12/15 и 0 < α < π/2

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) и тем, что \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \) положительны в первой четверти \( (0 < \alpha < \frac{\pi}{2}) \).

1. Найдем \( \sin \alpha \) через \( \cos \alpha \): \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{12}{15})^2 \)
2. \( \sin^2 \alpha = 1 - \frac{144}{225} = \frac{225 - 144}{225} = \frac{81}{225} \)
3. Так как \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), то \( \sin \alpha > 0 \). Следовательно, \( \sin \alpha = \sqrt{\frac{81}{225}} = \frac{9}{15} \)
4. Теперь найдем \( \sin \alpha \cdot \sin \alpha \): \( \sin \alpha \cdot \sin \alpha = \frac{9}{15} \cdot \frac{9}{15} = \frac{81}{225} \)
5. Упростим дробь: \( \frac{81}{225} = \frac{9 \cdot 9}{25 \cdot 9} = \frac{9}{25} \)

Ответ: 9/25