5. Один из корней уравнения х²- 7x + q = 0 равен 13. Найдите другой корень и свободный член q.

5. Решение уравнения с неизвестным коэффициентом:

Дано квадратное уравнение \( x^2 - 7x + q = 0 \) и один из его корней \( x_1 = 13 \).

Способ 1: Используя теорему Виета.

По теореме Виета для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) сумма корней \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) и произведение корней \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \).

В нашем уравнении \( a = 1 \), \( b = -7 \), \( c = q \).

Сумма корней: \( x_1 + x_2 = -\frac{-7}{1} \) \(\Rightarrow\) \( 13 + x_2 = 7 \).

Отсюда найдём второй корень \( x_2 \):

\[ x_2 = 7 - 13 = -6 \]

Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{q}{1} \) \(\Rightarrow\) \( 13 \cdot (-6) = q \).

Отсюда найдём \( q \):

\[ q = -78 \]

Способ 2: Подстановкой корня в уравнение.

Подставим известный корень \( x = 13 \) в уравнение:

\[ 13^2 - 7 \cdot 13 + q = 0 \]

\[ 169 - 91 + q = 0 \]

\[ 78 + q = 0 \]

\[ q = -78 \]

Теперь, зная \( q \), запишем полное уравнение: \( x^2 - 7x - 78 = 0 \).

Найдём его корни. Мы знаем, что один корень равен 13. Найдём второй корень, например, через дискриминант:

\( D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-78) = 49 + 312 = 361 \).

\[ x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 19}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \]

Итак, второй корень равен -6, а свободный член \( q = -78 \).

Ответ: другой корень равен -6, свободный член q = -78.