5. Основания параллелепипеда — квадраты со стороной b, все боковые грани — ромбы. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от всех вершин нижнего основания. Найдите объем параллелепипеда.

Пусть нижнее основание лежит в плоскости, а проекция указанной вершины верхнего основания на эту плоскость имеет координаты \((u,v)\) относительно вершины квадрата. Равенство расстояний до всех четырех вершин квадрата означает, что эта проекция — центр квадрата. Поэтому горизонтальные составляющие бокового ребра равны \(b/2\) и \(b/2\).

Все боковые грани — ромбы, следовательно, боковое ребро равно стороне основания, то есть его длина равна \(b\). Если высота равна \(h\), то по теореме Пифагора \(b^2=h^2+(b/2)^2+(b/2)^2\). Отсюда \(h^2=b^2/2\), значит, \(h=b/\sqrt{2}\).

Площадь основания равна \(b^2\), поэтому \(V=b^2\cdot b/\sqrt{2}=b^3/\sqrt{2}\).

Ответ: \(\frac{b^3}{\sqrt{2}}\).