5. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр 56. Найдите площадь трапеции.

Дано:

• Равнобедренная трапеция ABCD
• Основания: a = 8, b = 18
• Периметр: P = 56

Найти:

• Площадь трапеции S

Решение:

1. Найдём длину боковой стороны:

   Периметр трапеции равен сумме длин всех её сторон: P = a + b + 2c, где c – длина боковой стороны.

   56 = 8 + 18 + 2c

   56 = 26 + 2c

   2c = 56 - 26

   2c = 30

   c = 15

2. Найдём высоту трапеции:

   Проведем две высоты из вершин меньшего основания к большему. Они разделят большее основание на три отрезка: x, a, x. Где x – это половина разницы между основаниями.

   \[ x = \frac{b - a}{2} = \frac{18 - 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

   Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза), высотой (катет) и отрезком x (катет).

   По теореме Пифагора: $$c^2 = h^2 + x^2$$, где h – высота трапеции.

   \[ 15^2 = h^2 + 5^2 \]

   \[ 225 = h^2 + 25 \]

   \[ h^2 = 225 - 25 \]

   \[ h^2 = 200 \]

   \[ h = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \]

3. Найдём площадь трапеции:

   Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

   \[ S = \frac{a + b}{2} \times h \]

   \[ S = \frac{8 + 18}{2} \times 10\sqrt{2} \]

   \[ S = \frac{26}{2} \times 10\sqrt{2} \]

   \[ S = 13 \times 10\sqrt{2} \]

   \[ S = 130\sqrt{2} \]

Ответ:

Площадь трапеции равна $$130\sqrt{2}$$.