5. Отрезок BM — медиана равнобедренного треугольника ABC (AB = BC). На стороне AB отметили точку K так, что KM ∥ BC. Докажите, что BK = KM.

Так как \(BM\) — медиана, точка \(M\) — середина \(AC\), поэтому \(AM=MC\).

Поскольку \(KM\parallel BC\), треугольники \(AKM\) и \(ABC\) подобны. Коэффициент подобия малого треугольника к большому равен \(AM/AC=1/2\). Поэтому \(AK/AB=1/2\) и \(KM/BC=1/2\).

Отсюда \(AK=AB/2\), а значит \(BK=AB-AK=AB/2\). Также \(KM=BC/2\big). По условию \(AB=BC\), следовательно, \(BK=KM\).

Что и требовалось доказать.