5. Пересекаются ли прямая \(y=3x+1\) и парабола \(y=x^2+2\)?

Точки пересечения должны иметь одинаковые значения \(y\), поэтому приравняем выражения: \(3x+1=x^2+2\). Получаем \(x^2-3x+1=0\).

Дискриминант: \(D=(-3)^2-4\cdot1\cdot1=5>0\). Уравнение имеет два действительных корня: \(x=\frac{3-\sqrt5}{2}\) и \(x=\frac{3+\sqrt5}{2}\). Следовательно, графики пересекаются в двух точках.

Подставляя корни в \(y=3x+1\), получаем ординаты \(\frac{11-3\sqrt5}{2}\) и \(\frac{11+3\sqrt5}{2}\).

Ответ: да, пересекаются в двух точках: \(\left(\frac{3-\sqrt5}{2},\frac{11-3\sqrt5}{2}\right)\) и \(\left(\frac{3+\sqrt5}{2},\frac{11+3\sqrt5}{2}\right)\).