5. Периметр параллелограмма ABCD равен 30 см, AB : AD = 1 : 2, ∠A — острый, sin A = 3/5, BH — высота параллелограмма, проведённая к стороне AD. Найдите площадь трапеции HBCD.

Пусть \(AB=x\), тогда \(AD=2x\). По условию периметра \(2(AB+AD)=30\), поэтому \(3x=15\), откуда \(AB=5\) см и \(AD=10\) см.

Площадь параллелограмма равна \(AB\cdot AD\cdot\sin A=5\cdot10\cdot\frac35=30\) см². Высота \(BH=AB\sin A=3\) см.

Так как угол A острый, проекция AB на AD равна \(AH=AB\cos A\). Из \(\sin A=\frac35\) и остроты угла следует \(\cos A=\frac45\), значит \(AH=4\) см. Поэтому \(HD=AD-AH=10-4=6\) см.

В трапеции HBCD параллельные основания — \(HD=6\) см и \(BC=AD=10\) см; высота равна BH, то есть 3 см.

\(S_{HBCD}=\frac{HD+BC}{2}\cdot BH=\frac{6+10}{2}\cdot3=24\) см².

Ответ: 24 см².