5. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, делит его на два отрезка, один из которых на 21 см больше другого. Найдите радиус окружности, если длина данного перпендикуляра равна 10 см.

Решение:

• Пусть диаметр разделен на отрезки x и x + 21.
• Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на диаметр, является высотой в прямоугольном треугольнике, где гипотенузой является радиус, проведенный в ту же точку окружности.
• По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла: квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу (в нашем случае — диаметр).
• 10² = x * (x + 21).
• 100 = x² + 21x.
• x² + 21x - 100 = 0.
• Решим квадратное уравнение, используя дискриминант:
• D = b² - 4ac = 21² - 4 * 1 * (-100) = 441 + 400 = 841.
• √D = √841 = 29.
• x1 = (-21 + 29) / 2 = 8 / 2 = 4.
• x2 = (-21 - 29) / 2 = -50 / 2 = -25 (не подходит, так как длина отрезка не может быть отрицательной).
• Итак, отрезки диаметра равны 4 см и 4 + 21 = 25 см.
• Диаметр окружности равен сумме этих отрезков: 4 см + 25 см = 29 см.
• Радиус окружности равен половине диаметра: R = 29 см / 2 = 14.5 см.

Ответ: Радиус окружности равен 14.5 см.