5. Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить по формуле \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha \), где \( d_1, d_2 \) — длины его диагоналей, а \( \alpha \) — угол между ними. Вычислите \( \sin \alpha \), если \( S = 21, d_1 = 7, d_2 = 15 \).

Задание 5. Площадь четырехугольника

Дано:

• Площадь: \( S = 21 \)
• Диагональ 1: \( d_1 = 7 \)
• Диагональ 2: \( d_2 = 15 \)

Найти: \( \sin \alpha \).

Решение:

1. Используем формулу площади: \[ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha \]
2. Выразим \( \sin \alpha \): \[ \sin \alpha = \frac{2S}{d_1 d_2} \]
3. Подставим данные значения: \[ \sin \alpha = \frac{2 \cdot 21}{7 \cdot 15} \]
4. Вычислим: \[ \sin \alpha = \frac{42}{105} \]
5. Упростим дробь: \( \sin \alpha = \frac{2 \cdot 21}{5 \cdot 21} = \frac{2}{5} \).

Ответ: \( \frac{2}{5} \).