5. Поезд должен был пройти 420 км за определенное время. Однако по техническим причинам выехал на 30 мин позже. Чтобы прибыть вовремя, он увеличил скорость на 2 км/ч. Какова была скорость поезда?

Решение:

1. Обозначим переменные:
• Пусть v — первоначальная скорость поезда (км/ч).
• Пусть t — первоначальное время в пути (ч).
2. Составим уравнения, исходя из условия:
• Расстояние = Скорость · Время
• Первоначальный план: v · t = 420
• Фактически:
• Время в пути увеличилось на 30 минут (0.5 часа): t - 0.5
• Скорость увеличилась на 2 км/ч: v + 2
• Поезд прибыл вовремя, значит, расстояние то же: (v + 2)(t - 0.5) = 420
3. Выразим t из первого уравнения:
• t = 420 / v
4. Подставим t во второе уравнение:
• (v + 2)(420/v - 0.5) = 420
• Раскроем скобки:
• v(420/v) - 0.5v + 2(420/v) - 2(0.5) = 420
• 420 - 0.5v + 840/v - 1 = 420
• -0.5v + 840/v - 1 = 0
• Умножим все на v (при условии v ≠ 0):
• -0.5v² + 840 - v = 0
• Умножим все на -2, чтобы избавиться от десятичной дроби и сделать коэффициент при v² положительным:
• v² + 2v - 1680 = 0
5. Решим квадратное уравнение, используя дискриминант:
• D = b² - 4ac = 2² - 4(1)(-1680) = 4 + 6720 = 6724
• √D = √6724 = 82
• Найдем корни:
• v₁ = (-b + √D) / 2a = (-2 + 82) / 2 = 80 / 2 = 40
• v₂ = (-b - √D) / 2a = (-2 - 82) / 2 = -84 / 2 = -42
6. Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.

Ответ: 40 км/ч