5. Построить график функции у = х²-6x + 8. Найти по графику промежутки возрастания и убывания функции.

Решение:

Данная функция \( y = x^2 - 6x + 8 \) является квадратичной. Ее график — парабола.

1. Направление ветвей параболы: Коэффициент при \( x^2 \) равен 1 (положительный), значит, ветви параболы направлены вверх.
2. Координаты вершины параболы: Найдем абсциссу вершины по формуле \( x_в = \frac{-b}{2a} \):
   \[ x_в = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \]

   Найдем ординату вершины, подставив \( x_в \) в уравнение функции:

   \[ y_в = 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1 \]

   Вершина параболы находится в точке (3; -1).

3. Точки пересечения с осями:
   
   • С осью Oy: при \( x = 0 \), \( y = 0^2 - 6 \cdot 0 + 8 = 8 \). Точка (0; 8).
   • С осью Ox: при \( y = 0 \), \( x^2 - 6x + 8 = 0 \). Найдем корни квадратного уравнения:
     \[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \]
     \[ x_1 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4 \]
     \[ x_2 = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2 \]

     Точки пересечения с осью Ox: (2; 0) и (4; 0).

4. Построение графика: Отметим на координатной плоскости вершину (3; -1) и точки пересечения (0; 8), (2; 0), (4; 0). Проведем через них параболу ветвями вверх.
5. Промежутки возрастания и убывания:
   
   • Функция убывает при \( x < x_в \), то есть при \( x < 3 \).
   • Функция возрастает при \( x > x_в \), то есть при \( x > 3 \).

Ответ: График — парабола с вершиной в точке (3; -1), ветвями вверх. Функция убывает на промежутке (-∞; 3) и возрастает на промежутке (3; +∞).