4. Решить систему уравнений: { x + y = 3; y² - x = 39 }

Решение:

Решим систему уравнений методом подстановки.

\( \begin{cases} x + y = 3 \\ y^2 - x = 39 \end{cases} \)

1. Из первого уравнения выразим \( x \): \( x = 3 - y \).
2. Подставим это выражение для \( x \) во второе уравнение: \( y^2 - (3 - y) = 39 \).
3. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \( y^2 - 3 + y = 39 \)
4. \( y^2 + y - 3 - 39 = 0 \)
5. \( y^2 + y - 42 = 0 \)
6. Решим квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \). Здесь \( a=1 \), \( b=1 \), \( c=-42 \).
7. \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169 \)
8. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня. \( \sqrt{D} = \sqrt{169} = 13 \).
9. Найдём корни \( y \): \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6 \] \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7 \]
10. Теперь найдем соответствующие значения \( x \), подставляя \( y \) в выражение \( x = 3 - y \):
11. Если \( y_1 = 6 \), то \( x_1 = 3 - 6 = -3 \).
12. Если \( y_2 = -7 \), то \( x_2 = 3 - (-7) = 3 + 7 = 10 \).

Ответ: \( (-3; 6) \) и \( (10; -7) \).