5. Правильная четырёхугольная призма. Диагональ призмы равна 12; угол между этой диагональю и диагональю основания равен 30°. Найти: 1) площадь боковой поверхности; 2) площадь полной поверхности.

Основание — квадрат. Диагональ призмы длиной 12 образует с диагональю основания угол \(30^\circ\).

1. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой призмы, диагональю основания и диагональю призмы, высота равна \(h=12\sin30^\circ=6\), а диагональ основания — \(d=12\cos30^\circ=6\sqrt{3}\).
2. Сторона квадратного основания: \(a=\frac{d}{\sqrt{2}}=3\sqrt{6}\). Тогда \(S_{бок}=4ah=4\cdot3\sqrt{6}\cdot6=72\sqrt{6}\).
3. Площадь двух оснований: \(2a^2=2(3\sqrt{6})^2=108\). Следовательно, \(S_{полн}=72\sqrt{6}+108\).

Ответ: 1) \(72\sqrt{6}\); 2) \(72\sqrt{6}+108\).