6. Правильная треугольная призма. Диагональ боковой грани, соединяющая вершины \(A_1'\) и \(A_3\), равна \(a\); угол между ней и ребром основания \(A_3A_1\) равен \(\alpha\). Найти: 1) площадь боковой поверхности; 2) площадь полной поверхности.

Боковая грань — прямоугольник. Его диагональ равна \(a\), а угол между диагональю и ребром основания — \(\alpha\).

1. В прямоугольном треугольнике на боковой грани сторона основания равна \(s=a\cos\alpha\), а высота призмы — \(h=a\sin\alpha\).
2. Периметр равностороннего основания равен \(3s\). Поэтому \(S_{бок}=3sh=3a^2\sin\alpha\cos\alpha\).
3. Площадь одного основания равна \(\frac{\sqrt{3}}{4}s^2=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\cos^2\alpha\). Значит, \(S_{полн}=S_{бок}+2S_{осн}=3a^2\sin\alpha\cos\alpha+\frac{\sqrt{3}}{2}a^2\cos^2\alpha\).

Ответ: 1) \(3a^2\sin\alpha\cos\alpha\); 2) \(3a^2\sin\alpha\cos\alpha+\frac{\sqrt{3}}{2}a^2\cos^2\alpha\).