5. Правильный шестиугольник вписан B окружность. Известно, что сектор окружности, соответствующий центральному углу при вершине шестиугольника, имеет площадь 3π. Найдите площадь шестиугольника.

Пошаговое решение:

1. Правильный шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольников, центры которых совпадают с центром окружности.
2. Центральный угол, соответствующий одной стороне правильного шестиугольника, равен \( 360^{\circ} / 6 = 60^{\circ} \).
3. Площадь сектора вычисляется по формуле: \( S_{sector} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^{\circ}} \).
4. По условию, площадь сектора равна \( 3\pi \), и \( \alpha = 60^{\circ} \).
5. Подставляем значения: \( 3\pi = \frac{\pi R^2 ∙ 60^{\circ}}{360^{\circ}} \).
6. Упрощаем: \( 3\pi = \frac{\pi R^2}{6} \).
7. Отсюда \( R^2 = 18 \).
8. Площадь правильного шестиугольника равна сумме площадей 6 равносторонних треугольников. Площадь одного равностороннего треугольника со стороной R равна \( S_{triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4} R^2 \).
9. Площадь шестиугольника: \( S_{hexagon} = 6 \cdot S_{triangle} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} R^2 \).
10. Подставляем \( R^2 = 18 \): \( S_{hexagon} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} ∙ 18 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} ∙ 18 = 27\sqrt{3} \) см².

Ответ: 27√3 см²