5. Преобразуйте выражение (3/7 a^-4b^-6)^-3 * (-7a^2b^10)^-2 так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными показателями.

Решение:

Применим свойства степеней:

1. \(\left(\frac{3}{7} a^{-4} b^{-6}\right)^{-3} = \left(\frac{3}{7}\right)^{-3} \cdot (a^{-4})^{-3} \cdot (b^{-6})^{-3} = \left(\frac{7}{3}\right)^{3} \cdot a^{12} \cdot b^{18} = \frac{7^3}{3^3} a^{12} b^{18} = \frac{343}{27} a^{12} b^{18}\)
2. \((-7a^2 b^{10})^{-2} = (-7)^{-2} \cdot (a^2)^{-2} \cdot (b^{10})^{-2} = \frac{1}{(-7)^2} \cdot a^{-4} \cdot b^{-20} = \frac{1}{49} a^{-4} b^{-20}\)

Теперь умножим полученные выражения:

\(\frac{343}{27} a^{12} b^{18} \cdot \frac{1}{49} a^{-4} b^{-20}\)

Сгруппируем коэффициенты и степени:

\(\left(\frac{343}{27} \cdot \frac{1}{49}\right) \cdot (a^{12} \cdot a^{-4}) \cdot (b^{18} \cdot b^{-20})\)

Упростим коэффициенты:

\(\frac{343}{27 \cdot 49} = \frac{7 \cdot 49}{27 \cdot 49} = \frac{7}{27}\)

Сложим показатели степеней для \(a\):

\(12 + (-4) = 12 - 4 = 8\)

Сложим показатели степеней для \(b\):

\(18 + (-20) = 18 - 20 = -2\)

Получаем:

\(\frac{7}{27} a^8 b^{-2}\)

Чтобы избавиться от отрицательного показателя степени, перенесём \(b^{-2}\) в знаменатель:

\(\frac{7 a^8}{27 b^2}\)

Ответ: \(\frac{7a^8}{27b^2}\).