*№5. При каких \(a\) значениям сумма дробей \(\dfrac{a-3}{a+1}\) и \(\dfrac{a+1}{a-2}\) равна дроби \(\dfrac{a^2+11}{a^2-a-2}\)?

Знаменатели не должны обращаться в ноль: \(a\ne-1\), \(a\ne2\). При этом \(a^2-a-2=(a+1)(a-2)\).

Приведём сумму дробей к общему знаменателю:

\(\dfrac{a-3}{a+1}+\dfrac{a+1}{a-2}=\dfrac{(a-3)(a-2)+(a+1)^2}{(a+1)(a-2)}\).

Приравниваем числители:

\((a-3)(a-2)+(a+1)^2=a^2+11\).

Раскрываем скобки и упрощаем: \(2a^2-3a+7=a^2+11\), откуда \(a^2-3a-4=0\).

\((a-4)(a+1)=0\), поэтому \(a=4\) или \(a=-1\). Значение \(a=-1\) исключается из области допустимых значений.

Ответ: \(a=4\).