5. При каких целых значениях b является целым числом значение выражения \(\frac{(b-2)^2 + 8b + 1}{b}\)?

Решение:

1. Раскроем скобки в числителе:

\(\frac{b^2 - 4b + 4 + 8b + 1}{b} = \frac{b^2 + 4b + 5}{b}\)

2. Разделим каждый член числителя на \(b\):

\(\frac{b^2}{b} + \frac{4b}{b} + \frac{5}{b} = b + 4 + \frac{5}{b}\)

3. Чтобы всё выражение было целым числом, \(b\) должно быть целым числом, и \(\frac{5}{b}\) также должно быть целым числом.
4. Для того чтобы \(\frac{5}{b}\) было целым числом, \(b\) должно быть делителем числа 5.
5. Делителями числа 5 являются: 1, -1, 5, -5.
6. При этих значениях \(b\) само \(b\) целое, и \(\frac{5}{b}\) целое, следовательно, и всё выражение \(b+4+\frac{5}{b}\) будет целым.

Ответ: -5, -1, 1, 5.