№5. При каких значениях \(a\) имеет смысл выражение \(\frac{15a}{3+\frac{21}{4a-6}}\)?

Знаменатель внутренней дроби должен быть ненулевым:

\(4a-6\ne0\), значит \(a\ne\frac{3}{2}\).

Также знаменатель всей дроби не должен равняться нулю. Приведём его слагаемые к общему знаменателю:

\(3+\frac{21}{4a-6}=\frac{3(4a-6)+21}{4a-6}=\frac{12a+3}{4a-6}=\frac{3(4a+1)}{4a-6}\).

При уже установленном условии \(4a-6\ne0\) этот знаменатель равен нулю при \(4a+1=0\), то есть при \(a=-\frac{1}{4}\). Это значение тоже исключаем.

Ответ: выражение имеет смысл при всех \(a\in\mathbb{R}\), кроме \(a=\frac{3}{2}\) и \(a=-\frac{1}{4}\).