5. При каких значениях а уравнение (5 – a) x² + 3x + 1 = 0 не имеет корней?

Решение:

Квадратное уравнение \(Ax^2 + Bx + C = 0\) не имеет корней, если его дискриминант \(D < 0\) и \(A
eq 0\).

В нашем случае \(A = (5-a)\), \(B = 3\), \(C = 1\).

Случай 1: Уравнение является квадратным, т.е. \(A
eq 0\).

\[ 5 - a
eq 0 \implies a
eq 5 \]

Дискриминант \(D = B^2 - 4AC\):

\[ D = 3^2 - 4(5-a)(1) \]

\[ D = 9 - 4(5-a) \]

\[ D = 9 - 20 + 4a \]

\[ D = 4a - 11 \]

Чтобы уравнение не имело корней, нужно, чтобы \(D < 0\):

\[ 4a - 11 < 0 \]

\[ 4a < 11 \]

\[ a < \frac{11}{4} \]

\[ a < 2,75 \]

Учитывая условие \(a
eq 5\), получаем, что при \(a < 2,75\) уравнение не имеет корней.

Случай 2: Уравнение является линейным, т.е. \(A = 0\).

Если \(A = 5-a = 0\), то \(a = 5\). Уравнение принимает вид:

\[ 0 \cdot x^2 + 3x + 1 = 0 \]

\[ 3x + 1 = 0 \]

\[ 3x = -1 \]

\[ x = -\frac{1}{3} \]

В этом случае уравнение имеет один корень. Значит, \(a=5\) не подходит.

Объединяем результаты:

Уравнение не имеет корней при \(a < 2,75\).

Ответ: a < 2,75