5. При каких значениях \(b\) сумма дробей \(\frac{2b+1}{b+3}\) и \(\frac{b+3}{b-1}\) равна дроби \(\frac{9+7b}{b^2+2b-3}\)?

Знаменатели не должны обращаться в ноль: \(b\ne-3\), \(b\ne1\), поскольку \(b^2+2b-3=(b+3)(b-1)\).

Приведём сумму дробей к общему знаменателю:

\(\frac{2b+1}{b+3}+\frac{b+3}{b-1}=\frac{(2b+1)(b-1)+(b+3)^2}{(b+3)(b-1)}\).

Числитель суммы равен \((2b+1)(b-1)+(b+3)^2=3b^2+5b+8\). Поэтому уравнение принимает вид:

\(\frac{3b^2+5b+8}{b^2+2b-3}=\frac{9+7b}{b^2+2b-3}\).

При допустимых значениях \(b\) знаменатели равны и ненулевые, значит, приравниваем числители:

\(3b^2+5b+8=9+7b\), \(3b^2-1=0\), откуда \(b^2=\frac13\).

Получаем \(b=\pm\frac{\sqrt3}{3}\). Оба значения допустимы.

Ответ: \(b=-\frac{\sqrt3}{3}\) или \(b=\frac{\sqrt3}{3}\).