5. При каких значениях параметра p неравенство px² + (2p − 3)x + (p + 3) > 0 верно при всех значениях x?

Если \(p<0\), ветви параболы направлены вниз, поэтому выражение не может быть положительным при всех \(x\). При \(p=0\) получаем линейное выражение \(-3x+3\), которое также не положительно для всех значений \(x\).

Значит, необходимо \(p>0\). Тогда парабола направлена вверх, и выражение строго положительно для всех \(x\), если дискриминант отрицателен:

\(D=(2p-3)^2-4p(p+3)=9-24p<0\).

Отсюда \(p>\frac{3}{8}\). Это условие автоматически обеспечивает \(p>0\).

Ответ: \(p>\frac{3}{8}\).