5. Расстояние между пристанями A и B равно 120 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел расстояние 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Плот движется со скоростью течения, то есть 2 км/ч. Время, за которое он прошёл 24 км: \(24:2=12\) ч. Яхта отправилась на час позже, поэтому на путь туда и обратно она затратила \(12-1=11\) ч.

Пусть \(v\) км/ч — скорость яхты в неподвижной воде. Тогда её скорости по течению и против течения равны соответственно \(v+2\) и \(v-2\), где \(v>2\).

Составим уравнение по времени движения:

\[\frac{120}{v+2}+\frac{120}{v-2}=11.\]

Умножим на \((v+2)(v-2)\):

\(120(v-2)+120(v+2)=11(v^2-4)\).

\(240v=11v^2-44\), то есть \(11v^2-240v-44=0\).

\(v=\frac{240\pm\sqrt{240^2+4\cdot11\cdot44}}{22}=\frac{240\pm244}{22}\). Получаем \(v=22\) или \(v=-\frac{2}{11}\). Отрицательное значение не подходит, поскольку скорость должна быть больше скорости течения.

Ответ: 22 км/ч.