5. Равнобедренный треугольник с основанием 8 см вписан в окружность радиуса 5 см. Найдите площадь этого треугольника и его боковую сторону.

Решение:

Пусть основание равнобедренного треугольника \( BC = 8 \) см, а радиус описанной окружности \( R = 5 \) см.

Пусть \( O \) — центр описанной окружности, \( A \) — вершина треугольника, противоположная основанию. Пусть \( M \) — середина основания \( BC \). Тогда \( BM = MC = 4 \) см.

\( AM \) — высота треугольника \( ABC \).

В равнобедренном треугольнике центр описанной окружности лежит на высоте \( AM \).

Рассмотрим треугольник \( OMC \). Это прямоугольный треугольник, где \( OC = R = 5 \) см, \( MC = 4 \) см.

Найдем \( OM \) по теореме Пифагора: \( OM^2 = OC^2 - MC^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9 \).

\[ OM = \sqrt{9} = 3 \text{ см} \]

Высота \( AM = AO + OM \) или \( AM = AO - OM \). Если центр окружности лежит внутри треугольника, то \( AM = AO + OM = R + OM = 5 + 3 = 8 \) см. Если центр окружности лежит вне треугольника, то \( AM = AO - OM = R - OM = 5 - 3 = 2 \) см.

Случай 1: Центр окружности внутри треугольника.

Высота \( h = AM = 8 \) см.

Площадь треугольника \( S = \frac{1}{2} · BC · AM = \frac{1}{2} · 8 · 8 = 32 \) см².

Найдем боковую сторону \( AB \) (или \( AC \)) по теореме Пифагора в треугольнике \( AMB \):

\[ AB^2 = AM^2 + BM^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80 \]

\[ AB = \sqrt{80} = \sqrt{16 · 5} = 4\sqrt{5} \text{ см} \]

Случай 2: Центр окружности вне треугольника.

Высота \( h = AM = 2 \) см.

Площадь треугольника \( S = \frac{1}{2} · BC · AM = \frac{1}{2} · 8 · 2 = 8 \) см².

Найдем боковую сторону \( AB \) (или \( AC \)) по теореме Пифагора в треугольнике \( AMB \):

\[ AB^2 = AM^2 + BM^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20 \]

\[ AB = \sqrt{20} = \sqrt{4 · 5} = 2\sqrt{5} \text{ см} \]

Ответ: Возможны два варианта: 1) Площадь 32 см², боковая сторона 4\(\sqrt{5}\) см. 2) Площадь 8 см², боковая сторона 2\(\sqrt{5}\) см.