5. Разложите на множители: $$x^3 - 27y^3 + 3x^2y - 9xy^2$$.

Привет! Давай попробуем разложить это выражение на множители.

У нас есть выражение: x³ - 27y³ + 3x²y - 9xy².

Сначала сгруппируем слагаемые:

(x³ - 27y³) + (3x²y - 9xy²)

1. Работаем с первой группой: x³ - 27y³

• Это формула разности кубов: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).
• В нашем случае a = x, а b³ = 27y³, значит b = 3y.
• Применяем формулу:
• x³ - (3y)³ = (x - 3y)(x² + x * 3y + (3y)²)
• = (x - 3y)(x² + 3xy + 9y²)

2. Работаем со второй группой: 3x²y - 9xy²

• Вынесем общий множитель. Общий множитель здесь — 3xy.
• 3xy(x - 3y)

3. Теперь подставим обратно в исходное выражение:

• (x - 3y)(x² + 3xy + 9y²) + 3xy(x - 3y)

4. Заметим, что у нас есть общий множитель (x - 3y). Вынесем его за скобки:

• (x - 3y) [ (x² + 3xy + 9y²) + 3xy ]

5. Упростим выражение во вторых скобках:

• x² + 3xy + 9y² + 3xy
• x² + 6xy + 9y²

6. Заметим, что получившееся выражение x² + 6xy + 9y² — это формула квадрата суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b².

• В нашем случае a = x, а b² = 9y², значит b = 3y.
• Проверим средний член: 2 * x * 3y = 6xy. Все совпадает!
• Значит, x² + 6xy + 9y² = (x + 3y)².

7. Собираем все вместе:

• (x - 3y) (x + 3y)²

Мы разложили выражение на множители!

Ответ: $$(x - 3y)(x + 3y)^2$$