5. Разность корней квадратного уравнения x² − x − q = 0 равна 4. Найдите корни уравнения и значение q.

По теореме Виета сумма корней равна 1. Обозначим корни \(x_1\) и \(x_2\), причём \(x_1-x_2=4\). Тогда:

\(x_1+x_2=1\), \(x_1-x_2=4\).

Складывая равенства, получаем \(2x_1=5\), значит, \(x_1=\frac{5}{2}\). Тогда \(x_2=1-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}\).

Произведение корней по теореме Виета равно \(-q\):

\(x_1x_2=\frac{5}{2}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{15}{4}=-q\), откуда \(q=\frac{15}{4}\).

Ответ: корни \(\frac{5}{2}\) и \(-\frac{3}{2}\); \(q=\frac{15}{4}\).