5*. Решить неравенство: √(x² − 2x − 1) ≥ 2x − 3.

Сначала найдём область допустимых значений подкоренного выражения:

\(x^2-2x-1\ge0\), поэтому \(x\le1-\sqrt2\) или \(x\ge1+\sqrt2\).

Если \(x\le\frac32\), то правая часть \(2x-3\le0\). Левая часть неотрицательна, поэтому неравенство выполняется на ОДЗ. Из указанных промежутков ОДЗ этому условию соответствует \(x\le1-\sqrt2\).

Если \(x>\frac32\), то с учётом ОДЗ имеем \(x\ge1+\sqrt2\), и обе части неотрицательны — можно возвести их в квадрат:

\(x^2-2x-1\ge(2x-3)^2\), то есть \(3x^2-10x+10\le0\). Дискриминант этого квадратного трёхчлена равен \(100-120=-20<0\), а старший коэффициент положителен; следовательно, трёхчлен всегда положителен и решений здесь нет.

Ответ: \(x\in(-\infty;1-\sqrt2]\).