5. Решить треугольник, в котором угол A равен 45°, AC = 12 см, CB = 11 см.

Обозначим стороны, лежащие напротив углов A, B и C, соответственно a, b и c. Тогда a = BC = 11 см, b = AC = 12 см, ∠A = 45°.

По теореме синусов sin B = b sin A / a = 12 · (√2/2) / 11 = 6√2/11. Здесь возможны два угла B с таким синусом, и оба дают положительный угол C.

Первый вариант: ∠B ≈ 50,5°, поэтому ∠C = 180° − 45° − 50,5° ≈ 84,5°. По теореме синусов c = 11 · sin 84,5° / sin 45° ≈ 15,5 см.

Второй вариант: ∠B ≈ 129,5°, поэтому ∠C = 180° − 45° − 129,5° ≈ 5,5°. Тогда c = 11 · sin 5,5° / sin 45° ≈ 1,5 см.

Условие допускает два треугольника: в обоих ∠A = 45°, AC = 12 см и BC = 11 см.