5. Решите дробное рациональное уравнение: а) \(\frac{x^2-2x+4}{x-5}=0\); б) \(\frac{4x}{x+3}-\frac{x}{x-3}=\frac{x}{x^2-9}\).

а) Область допустимых значений: \(x\ne5\). Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю:

\(x^2-2x+4=0\). Дискриминант \(D=(-2)^2-4\cdot1\cdot4=-12<0\), поэтому действительных корней нет.

Ответ к а): действительных решений нет.

б) Область допустимых значений: \(x\ne-3\), \(x\ne3\). Приведём левую часть к общему знаменателю:

\(\frac{4x(x-3)-x(x+3)}{(x+3)(x-3)}=\frac{x}{x^2-9}\),
\(\frac{3x^2-15x}{x^2-9}=\frac{x}{x^2-9}\).

Знаменатели одинаковы и ненулевые по ОДЗ, поэтому приравниваем числители:

\(3x^2-15x=x\),
\(3x^2-16x=0\),
\(x(3x-16)=0\).

Получаем \(x=0\) или \(x=\frac{16}{3}\). Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ к б): \(x=0, \frac{16}{3}\).