5. Решите неравенство: а) (x + 9)(x − 5)²(x − 18) > 0; б) (x² − 13x + 30)/(x² + 7x + 10) < 0; в) x³ − 5x² + 6x ≥ 0; г) (x⁴ − 10x² + 9)/(4x + 12) ≤ 0.

Разложим выражения на множители, отметим нули числителя и знаменателя и определим знак на промежутках.

а) Корни: −9, 5 (двукратный) и 18. Множитель \((x-5)^2\) положителен при \(x\ne5\) и не меняет знак; произведение положительно при \(x<-9\) и \(x>18\). Ответ: \((-\infty;-9)\cup(18;+\infty)\).

б) Разложим: \(\frac{x^2-13x+30}{x^2+7x+10}=\frac{(x-3)(x-10)}{(x+5)(x+2)}\). Точки −5 и −2 исключаются из области определения; критические точки −5, −2, 3, 10. Дробь отрицательна на \((-5;-2)\) и \((3;10)\). Ответ: \((-5;-2)\cup(3;10)\).

в) Разложим: \(x^3-5x^2+6x=x(x-2)(x-3)\). Корни 0, 2 и 3; с учётом знака «≥ 0» получаем \([0;2]\cup[3;+\infty)\).

г) Разложим числитель и знаменатель: \(\frac{(x^2-1)(x^2-9)}{4(x+3)}=\frac{(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)}{4(x+3)}\). Сокращаем множитель \(x+3\), но сохраняем ограничение \(x\ne-3\). Решаем \((x-1)(x+1)(x-3)\le0\): получаем \((-\infty;-1]\cup[1;3]\), исключая −3. Ответ: \((-\infty;-3)\cup(-3;-1]\cup[1;3]\).