5. Решите неравенство \( \cos x \le -\frac{1}{2} \)

Решение:

На единичной окружности значения косинуса соответствуют координате x. Нам нужно найти дуги, где координата x меньше или равна -1/2.

Значение \( \cos x = -\frac{1}{2} \) достигается при \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \) и \( x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

Неравенство \( \cos x \le -\frac{1}{2} \) выполняется для углов, лежащих на отрезке от \( \frac{2\pi}{3} \) до \( \frac{4\pi}{3} \), включая концы отрезка.

Таким образом, решение неравенства:

\( \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le x \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x \in \left[\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \frac{4\pi}{3} + 2\pi n\right], n \in \mathbb{Z} \).