5. Решите систему уравнений: 3x -- 3 9x -- 5 + 2y -- 3 = 67 10y -- 5 = 1

Решение:

Дана система уравнений:

\[
\begin{cases}
\frac{3x}{5} + \frac{2y}{3} = 67 \\
\frac{9x}{5} + \frac{10y}{3} = 1
\end{cases}
\]

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим первое уравнение на 15 (наименьшее общее кратное 3 и 5), а второе — на 15:

Первое уравнение:

\[ 15 \left( \frac{3x}{5} + \frac{2y}{3} \right) = 15 \times 67 \]

\[ 15 \times \frac{3x}{5} + 15 \times \frac{2y}{3} = 1005 \]

\[ 9x + 10y = 1005 \]

Второе уравнение:

\[ 15 \left( \frac{9x}{5} + \frac{10y}{3} \right) = 15 \times 1 \]

\[ 15 \times \frac{9x}{5} + 15 \times \frac{10y}{3} = 15 \]

\[ 27x + 50y = 15 \]

Теперь решим новую систему:

\[
\begin{cases}
9x + 10y = 1005 \\
27x + 50y = 15
\end{cases}
\]

Умножим первое уравнение на 5:

\[
\begin{cases}
45x + 50y = 5025 \\
27x + 50y = 15
\end{cases}
\]

Вычтем второе уравнение из первого:

\[ (45x + 50y) - (27x + 50y) = 5025 - 15 \]

\[ 18x = 5010 \]

\[ x = \frac{5010}{18} = 278.333... \]

Здесь возникла дробная часть, проверим условие второго уравнения.

Второе уравнение: \( \frac{10y}{5} = 1 \) → \( 2y = 1 \) → \( y = \frac{1}{2} \).

Теперь подставим \( y = \frac{1}{2} \) в первое уравнение:

\[ \frac{3x}{5} + \frac{2(\frac{1}{2})}{3} = 67 \]

\[ \frac{3x}{5} + \frac{1}{3} = 67 \]

\[ \frac{3x}{5} = 67 - \frac{1}{3} \]

\[ \frac{3x}{5} = \frac{201 - 1}{3} = \frac{200}{3} \]

\[ 3x = \frac{200}{3} \times 5 \]

\[ 3x = \frac{1000}{3} \]

\[ x = \frac{1000}{9} \]

Ответ: \( x = \frac{1000}{9}, y = \frac{1}{2} \).