№ 5. Решите систему уравнений введением новых неизвестных: \(\begin{cases}\dfrac{x+y}{x-y}+4\dfrac{x-y}{x+y}=4,\\x^2+y^2=10.\end{cases}\)

Введём новую неизвестную \(t=\dfrac{x+y}{x-y}\). По ОДЗ \(x-y\ne0\) и \(x+y\ne0\), поэтому \(t\ne0\), а \(\dfrac{x-y}{x+y}=\dfrac1t\).

Первое уравнение принимает вид \(t+\dfrac4t=4\). Умножим на \(t\): \(t^2-4t+4=0\), то есть \((t-2)^2=0\). Значит, \(t=2\), поэтому \(x+y=2(x-y)\) и \(x=3y\).

Подставим это соотношение во второе уравнение: \((3y)^2+y^2=10\), откуда \(10y^2=10\), следовательно, \(y=1\) или \(y=-1\). Тогда соответственно \(x=3\) или \(x=-3\). Обе пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: \((3;1)\), \((-3;-1)\).