5. Решите уравнение: 1) \(\frac{5x + 1}{6} - \frac{x + 3}{4} = 1\); 2) \( (4x - 1)(x - 2) = (6x + 1)(2x + 3) - 4x \).

Задание 5. Решите уравнение

1) \(\frac{5x + 1}{6} - \frac{x + 3}{4} = 1\)

Чтобы решить это уравнение, избавимся от дробей. Для этого умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель чисел 6 и 4, который равен 12.

\[ 12 \cdot \left(\frac{5x + 1}{6} - \frac{x + 3}{4}\right) = 12 \cdot 1 \]

\[ 12 \cdot \frac{5x + 1}{6} - 12 \cdot \frac{x + 3}{4} = 12 \]

\[ 2(5x + 1) - 3(x + 3) = 12 \]

Раскроем скобки:

\[ 10x + 2 - 3x - 9 = 12 \]

Приведём подобные слагаемые:

\[ 7x - 7 = 12 \]

Прибавим 7 к обеим частям уравнения:

\[ 7x = 12 + 7 \]

\[ 7x = 19 \]

Разделим обе части на 7:

\[ x = \frac{19}{7} \]

Ответ: \( x = \frac{19}{7} \).

2) \( (4x - 1)(x - 2) = (6x + 1)(2x + 3) - 4x \)

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.

Левая часть:

\[ (4x - 1)(x - 2) = 4x \cdot x + 4x \cdot (-2) - 1 \cdot x - 1 \cdot (-2) = 4x^2 - 8x - x + 2 = 4x^2 - 9x + 2 \]

Правая часть:

\[ (6x + 1)(2x + 3) - 4x = (6x \cdot 2x + 6x \cdot 3 + 1 \cdot 2x + 1 \cdot 3) - 4x \]

\[ (12x^2 + 18x + 2x + 3) - 4x = 12x^2 + 20x + 3 - 4x = 12x^2 + 16x + 3 \]

Теперь приравняем обе части:

\[ 4x^2 - 9x + 2 = 12x^2 + 16x + 3 \]

Перенесём все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 0 = 12x^2 - 4x^2 + 16x + 9x + 3 - 2 \]

\[ 0 = 8x^2 + 25x + 1 \]

Теперь решим квадратное уравнение \( 8x^2 + 25x + 1 = 0 \) с помощью дискриминанта.

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \)

Здесь \( a = 8, b = 25, c = 1 \).

\[ D = 25^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 625 - 32 = 593 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x_1 = \frac{-25 + \sqrt{593}}{2 \cdot 8} = \frac{-25 + \sqrt{593}}{16} \]

\[ x_2 = \frac{-25 - \sqrt{593}}{2 \cdot 8} = \frac{-25 - \sqrt{593}}{16} \]

Ответ: \( x = \frac{-25 \pm \sqrt{593}}{16} \).