5. Решите уравнение: \(3\sin^2x-2\cos x+2=0\). Найдите все корни уравнения на промежутке \([0;2\pi]\).

Заменим \(\sin^2x\) на \(1-\cos^2x\):

\[3(1-\cos^2x)-2\cos x+2=0.\]

Обозначим \(t=\cos x\). Тогда \(3t^2+2t-5=0\), откуда

\[t=\frac{-2\pm\sqrt{4+60}}{6}=1\quad\text{или}\quad -\frac{5}{3}.\]

Значение \(-\frac{5}{3}\) не может быть косинусом, так как \(\cos x\in[-1;1]\). Остаётся \(\cos x=1\), что на отрезке \([0;2\pi]\) выполняется при \(x=0\) и \(x=2\pi\).

Ответ: \(x=0;\ 2\pi\).