5. Решите уравнение \(\cos\frac{\pi(x-7)}{3}=\frac{1}{2}\). В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Косинус равен \(\frac{1}{2}\), когда его аргумент равен \(2\pi k\pm\frac{\pi}{3}\), где \(k\in\mathbb Z\).

Получаем два семейства решений: \(\frac{\pi(x-7)}{3}=2\pi k+\frac{\pi}{3}\), откуда \(x=8+6k\); и \(\frac{\pi(x-7)}{3}=2\pi k-\frac{\pi}{3}\), откуда \(x=6+6k\).

Наибольший отрицательный корень первого семейства — \(-4\), второго — \(-6\). Следовательно, наибольший отрицательный корень уравнения — \(-4\).

Ответ: \(-4\).