5. Решите уравнение: $\dfrac{x}{x^2+4x+4}=\dfrac{4}{x^2-4}-\dfrac{16}{x^3+2x^2-4x-8}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Решите уравнение: $\dfrac{x}{x^2+4x+4}=\dfrac{4}{x^2-4}-\dfrac{16}{x^3+2x^2-4x-8}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители: $x^2+4x+4=(x+2)^2$, $x^2-4=(x-2)(x+2)$, $x^3+2x^2-4x-8=(x+2)^2(x-2)$. Поэтому $x\ne-2$ и $x\ne2$.

Приведём правую часть к общему знаменателю:

$\dfrac{4}{(x-2)(x+2)}-\dfrac{16}{(x+2)^2(x-2)}=\dfrac{4(x+2)-16}{(x+2)^2(x-2)}=\dfrac{4}{(x+2)^2}$.

Уравнение принимает вид $\dfrac{x}{(x+2)^2}=\dfrac{4}{(x+2)^2}$. Так как $x\ne-2$, умножаем на $(x+2)^2$ и получаем $x=4$. Это значение допустимо.

Ответ: $x=4$.

5. Решите уравнение: \(\dfrac{x}{x^2+4x+4}=\dfrac{4}{x^2-4}-\dfrac{16}{x^3+2x^2-4x-8}\).