5. Решите уравнение \(\log_2\frac{x}{6}=\log_{0,5}(x+1)\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

ОДЗ: \(\frac{x}{6}>0\) и \(x+1>0\), поэтому \(x>0\).

Так как \(0,5=\frac12\), то \(\log_{0,5}(x+1)=-\log_2(x+1)\). Уравнение принимает вид \(\log_2\frac{x}{6}=-\log_2(x+1)\).

Переносим логарифм в левую часть: \(\log_2\left(\frac{x}{6}(x+1)\right)=0\). Значит, \(\frac{x(x+1)}{6}=1\), откуда \(x^2+x-6=0\).

Разложим на множители: \((x+3)(x-2)=0\). Получаем \(x=-3\) или \(x=2\). По ОДЗ подходит только \(x=2\).

Ответ: 2.